Коли на числовій прямій з’являється дуга з порожніми кружками на кінцях, це сигналізує про відкритий проміжок, де крайні значення не включаються до множини розв’язків. Заповнені кружки, навпаки, кричать: “Ці точки належать сюди!” А стрілки в боки натякають на нескінченність. Саме так більшість школярів стикається з запитанням “який проміжок на малюнку” в тестах з алгебри 9 класу.
Така графіка не просто прикраса – вона візуалізує розв’язки нерівностей, перетворюючи абстрактні знаки >, <, ≥, ≤ на живу картину. Уявіть: температура за вікном коливається від -5°C до +10°C включно – це замкнутий проміжок [-5; 10]. А якщо холодніше -5 не опускається, то відкритий зліва (-5; 10]. Розуміння цих нюансів рятує від плутанини в задачах, де один символ змінює все.
Тепер розберемо, чому ця тема – ключ до нерівностей, систем і навіть ЗНО. Кожна дуга на малюнку ховає історію нерівності, а вміння її прочитати відкриває двері до складніших тем, як функції чи ймовірності.
Що ховається за поняттям числового проміжку
Числовий проміжок – це множина всіх дійсних чисел між двома границями, або від однієї до нескінченності, або вся пряма. Народжений у математичному аналізі, він став основою шкільної алгебри, дозволяючи компактно записувати розв’язки нерівностей. Без нього розв’язок x > 3 розтягнувся б на нескінченний список – а так один штрих: (3; +∞).
На практиці проміжки всюди: час доставки товару (2; 5] години, вага посилки [1; 20) кг чи швидкість авто (0; 120] км/год. Вони перетворюють сухі нерівності на реальні сценарії, де помилка коштує дорого – уявіть інженера, який забуде включити границю в розрахунках мосту.
Історично проміжки еволюціонували від античних геометрів, які мріяли про континуум, до сучасних позначень Вейерштрасса в XIX столітті. Сьогодні, за даними uk.wikipedia.org, це стандарт у аналізі, але в школі – перша сходинка до множин.
Види числових проміжків: розбір по поличках
Проміжки класифікують за включенням кінців і напрямками. Перед таблицею згадаймо: круглі дужки () – точки не входять, квадратні [] – входять. Стрілки ∞ показують безмежжя.
| Вид проміжку | Позначення | Нерівність | Зображення на прямій |
|---|---|---|---|
| Відкритий (інтервал) | (a; b) | a < x < b | Дуга з порожніми кружками |
| Замкнутий (відрізок) | [a; b] | a ≤ x ≤ b | Дуга з заповненими кружками |
| Напіввідкритий ліворуч | (a; b] | a < x ≤ b | Порожній лівий, заповнений правий |
| Напіввідкритий праворуч | [a; b) | a ≤ x < b | Заповнений лівий, порожній правий |
| Відкритий промінь праворуч | (a; +∞) | x > a | Порожній кружок + стрілка вправо |
| Замкнутий промінь праворуч | [a; +∞) | x ≥ a | Заповнений кружок + стрілка вправо |
| Відкритий промінь ліворуч | (-∞; b) | x < b | Стрілка зліва + порожній праворуч |
| Замкнутий промінь ліворуч | (-∞; b] | x ≤ b | Стрілка зліва + заповнений праворуч |
| Вся множина | (-∞; +∞) | Вся R | Повна стрілка обома напрямками |
| Порожня множина | ∅ | Немає розв’язків | Нічого |
Джерела даних: miyklas.com.ua, підручники алгебри 9 клас Мерзляк. Ця таблиця – ваш компас у тестах. Після неї переходьте до вправ: зобразіть [ -2; 4 ] – заповнені крапки, дуга між ними. А ( -3; 2 ]? Порожній зліва, заповнений справа. Практика робить майстра, і скоро малюнки читатимуться як книга.
Як прочитати проміжок на малюнку: покроковий алгоритм
- Знайдіть дугу або стрілку. Вона окреслює межі множини. Без дуги – порожня множина.
- Перевірте кружки на кінцях. Порожні – не включаємо (круглі дужки), заповнені – включаємо (квадратні).
- Визначте напрям. Стрілка вправо – +∞, зліва – -∞.
- Запишіть позначення. Лівий кінець спочатку, правий – потім.
- Перевірте числа. Наприклад, дуга від -1 (заповнена) до 4 (порожня) з стрілкою зліва? (-∞; -1] ∪ [4; +∞)? Ні, для одного проміжку – суцільна дуга.
Цей алгоритм витягує з малюнка точний запис. Уявіть типову пастку з тестів naurok.com.ua: дуга від -2 (порожня) до 4 (заповнена) – це (-2; 4]. Багато плутають з [-2; 4), бо не помічають кружок. Тепер ви озброєні.
Переріз і об’єднання: коли проміжки танцюють разом
Переріз (∩) – спільна частина, як “і”: [1; 5] ∩ [3; 7] = [3; 5]. Зображення: нахльост дуг, спільний шматок. Об’єднання (∪) – все разом, “або”: [1; 3] ∪ [2; 5] = [1; 5]. Якщо розриви – два проміжки.
- Переріз порожній, якщо проміжки не перетинаються: (5; 10) ∩ (15; 20) = ∅.
- Об’єднання спрощуємо: (-∞; 2] ∪ [1; +∞) = вся пряма.
- Для систем нерівностей: x ≥ 0 і x < 5 → [0; 5).
У реальності: переріз – вікно для акції (ціни 100-200 грн ∩ знижка 150-250 = 150-200). Об’єднання – можливі терміни поставки. Ці операції – місток до складніших систем, де один проміжок множиться на другий.
Ключовий момент: переріз двох проміжків порожній, якщо правий кінець першого менший за лівий другого.
Практичні приклади з тестів і життя
З тесту: малюнок з дугою від -3 (порожня) до +∞ – (-3; +∞). Перевірте: x > -3. Ще один: [3; +∞) – стрілка вправо від заповненої 3.
У фінансах: прибуток > 1000 грн – (1000; +∞). Зарплата [5000; 15000] грн. Система: прибуток ≥ 2000 і ≤ 10000 → [2000; 10000].
У спорті: бігун фінішує за (9.5; 11] хв – не раніше 9.5, не пізніше 11 включно. Розрахуйте медалі: переріз з рекордом.
Типові помилки при визначенні проміжків
Школярі часто хапаються за голову через дрібниці, але з прикладами це виправимо. Ось найпоширеніші пастки, витягнуті з аналізу тестів на vseosvita.ua та miyklas.com.ua.
- Плутанина кружків. Порожній = не входить, але пишуть квадратні дужки. Приклад: дуга з порожніми – (a;b), не [a;b]. Виправлення: малюйте тест-проміжок з числом усередині/зовні.
- Ігнор стрілок. Забувають ∞, пишучи лише кінці. ( -∞; 5 ) ≠ [0;5]. Життя: температура може впасти нижче 0!
- Переріз як об’єднання. [1;3] ∩ [2;4] = [2;3], не [1;4]. Малюйте дуги – спільне видно одразу.
- Порожній проміжок. (5;3) = ∅, бо лівий > правого. Не пишуть [5;3].
- Напіввідкриті. [a;b) плутають з (a;b]. Перевіряйте нерівність: ≤ чи < праворуч?
Ці помилки коштують балів на ЗНО, але з практикою зникають. Спробуйте: малюнок з дугою від 0 (заповнена) до 2 (порожня) ∪ від 4 (порожня) до 6 (заповнена) = [0;2) ∪ (4;6]. Бачили різницю?
Поради для майстерності в задачах на проміжки
Щоб “який проміжок на малюнку” не лякало, тренуйтеся щодня. Почніть з простих нерівностей, малюйте пряму самі. Використовуйте GeoGebra – безкоштовний графікатор, де дуги оживають.
- Завжди малюйте числову пряму з -10 до +10 для орієнтиру.
- Тренуйте перехід: нерівність → проміжок → малюнок → назад.
- Для ЗНО: фіксуйте час – 30 сек на проміжок.
- Групові вправи: один малює, другий називає – весело й ефективно.
- Застосовуйте в хобі: фітнес (пульс [60; 160]), кулінарія (темп. [180; 200]°C).
Такий підхід перетворює нудьгу на гру. Ви не повірите, як швидко очі самі ловитимуть порожні кружки!
Практичні кейси: проміжки в реальному світі
У логістиці: доставка [1; 3] дні – клієнт отримує вчасно. Затримка >3 – штраф. Переріз з вихідними: [1;3] ∩ робочі дні.
У медицині: доза ліків (5; 10] мг/кг. Для дитини 20 кг: (100; 200] мг. Точність рятує життя.
У геймінгу: очки для рівня [1000; ∞). Об’єднання бонусів розширює шлях.
Економіка 2026: інфляція (2%; 5%], ставки НБУ [10%; 12%]. Розрахунки на проміжках – must-have для аналітиків.
Проміжки – не абстракція, а інструмент для прогнозів і рішень у хаотичному світі.
Тренди у вивченні числових проміжків 2026
Онлайн-платформи як На Урок та МійКлас вибухнули тестами – 80% завдань з графікою. AI-тьютори генерують малюнки на льоту, адаптуючи складність. ЗНО-статистика: 70% помилок у проміжках через візуалізацію (testportal.gov.ua).
Нові підручники акцентують 3D-моделі прямих, VR для занурення. Гібридне навчання: відео + інтерактив. Майбутнє – проміжки в програмуванні, де Python малює matplotlib’ом.
Ентузіазм росте: школярі діляться мемами “коли плутаєш ( і [“, роблячи алгебру вірусною. Це не кінець – лише старт до диференціалів, де проміжки стають інтегралами.